Mathematische Herleitung der Resonanzfrequenz im Schwingkreis

Die Resonanzfrequenz bildet das zentrale Merkmal idealer LC-Schwingkreise: Sie maximiert Energieaustausch zwischen elektrischem und magnetischem Feld und minimiert die Impedanz. Der Beitrag skizziert die mathematische Herleitung aus den Grundgleichungen: Kirchhoff, Differentialgleichung zweiter Ordnung, Lösung als harmonische Schwingung bis zur Formel f0=1/(2π√(LC)).

Inhaltsverzeichnis

• Modell des Schwingkreises
• Gleichung des Schwingkreises
• Resonanzfrequenz analytisch
• Einfluss der Dämpfung
• Parameterwahl für Präzision
• Häufige Fragen

Modell des Schwingkreises

Das zugrunde liegende lineare Serien-RLC-Modell basiert auf der Kirchhoff’schen Maschenregel und verknüpft die Bauteilgesetze zu einer kompakten Beschreibung der Dynamik: Aus der Spannungsbilanz L·(di/dt) + R·i + (1/C)∫i dt = 0 folgt in der Ladungsvariable q mit i = dq/dt die lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung L·q″ + R·q′ + (1/C)·q = 0; im verlustlosen Grenzfall entsteht die Eigenfrequenz ω₀ = 1/√(LC). Eine äquivalente Zustandsraumdarstellung mit x = (q, i)ᵀ lautet x′ = (i, −(1/LC)·q − (R/L)·i)ᵀ, wodurch die Dämpfung über R und die Kopplung von Induktivität L und Kapazität C transparent werden; die Anfangswerte q(0) und i(0) steuern Energieverteilung und Phasenlage.

• Annahmen: linear, zeitinvariant, konzentrierte Parameter
• keine Quellen in der Eigenbewegung (homogenes System)
• gültig im Kleinsignalbereich ohne Sättigung und Verluste außer R
• anfängliche Energie in L und/oder C über q(0), i(0)

Gleichung des Schwingkreises

Nach Anwendung der Maschenregel und der konstitutiven Zusammenhänge u_L = L · di/dt sowie u_C = q/C entsteht für den idealen LC-Kreis die homogene lineare Differentialgleichung L · d²q/dt² + (1/C) · q = 0. Mit ohmschen Verlusten ergibt sich der gedämpfte RLC-Term L · d²q/dt² + R · dq/dt + (1/C) · q = 0, wobei i = dq/dt. In Normalform geschrieben: q” + 2ζω₀ q’ + ω₀² q = 0 mit ω₀ = 1/√(LC) und ζ = (R/2) · √(C/L); die Gesamtenergie W = (1/2) · L · i² + (1/2) · C · (q/C)² illustriert den periodischen Energieaustausch zwischen Magnetfeld und elektrischem Feld und zeigt, wie Dämpfung die Amplituden zeitlich reduziert.

• Modellannahmen: linear, zeitinvariant, konzentrierte Bauelemente
• Anfangswerte: Ladung q(0) und Strom i(0) bestimmen Phasenlage und Amplitude
• Energiepfad: verlustlos periodisch (LC), mit R exponentiell abklingend

Resonanzfrequenz analytisch

Ausgehend von der Maschenbilanz des Reihen-RLC ergibt sich die lineare Differentialgleichung L q” + R q’ + (1/C) q = 0 mit der charakteristischen Form s² + (R/L)s + 1/(LC) = 0. Daraus folgen die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ω₀ = 1/√(LC) und die Dämpfung α = R/(2L); im unterkritischen Fall entsteht q(t) ∝ e^−αt cos(ω_dt + φ) mit der gedämpften Eigenfrequenz ω_d = √(ω₀² − α²). Im Frequenzbereich besitzt der Serienkreis bei idealen Bauteilen ein Impedanzminimum exakt bei ω₀, sodass f₀ = 1/(2π√(LC)) gilt; der Einfluss endlicher Verluste wird kompakt über den Gütefaktor Q = ω₀L/R beschrieben, wobei sich Spitzen in Übertragungsfunktionen für hohe Güte näherungsweise mit f_peak ≈ f₀√(1 − 1/(2Q²)) erfassen lassen.

• Grundgleichung: L q” + R q’ + (1/C) q = 0
• Eigenkreisfrequenz: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π)
• Dämpfung: α = R/(2L)
• Gedämpfte Frequenz: ω_d = √(ω₀² − α²)
• Gütefaktor (Serie): Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)
• Peak-Näherung (hohes Q): f_peak ≈ f₀√(1 − 1/(2Q²))

Einfluss der Dämpfung

Verluste verschieben das Amplitudenmaximum geringfügig unter die ungedämpfte Eigenfrequenz f₀ = 1/(2π√(LC)) und glätten die Resonanzkurve: Für große Güte Q gilt näherungsweise fᵣ ≈ f₀·√(1 − 1/(2Q²)), während die zeitliche Schwingung mit der gedämpften Eigenfrequenz f_d = f₀·√(1 − ζ²) abläuft. Die Spitzenauslenkung sinkt, die Bandbreite Δf = f₀/Q wächst, und die Phasenlage durchläuft den Bereich um −90° konzentriert nahe f₀. In Reihenschwingkreisen reduziert Dämpfung den Stromgipfel und verbreitert die Impedanzmulde; in Parallelschwingkreisen flacht die Admittanzspitze ab. Mit zunehmender Dissipation geht Selektivität verloren, Energie speichert sich geringer in L und C, und die Übergänge zwischen unter-, kritisch- und überdämpftem Verhalten treten klar hervor.

• Güte Q: bei Serie-RLC Q = (1/R)·√(L/C); maßgeblich für Höhe und Schärfe der Resonanz.
• Bandbreite: Δf steigt mit Dämpfung; Halbwertsbreite bestimmt Selektivität.
• Frequenzverschiebung: fᵣ liegt unter f₀; der Effekt ist klein für Q ≫ 1.
• Phasenverschiebung: schnellere Drehung um −90° bei stärkerer Dämpfung.
• Energiehaushalt: geringere Spitzenenergie in L/C, erhöhte Verlustleistung in R.

Parameterwahl für Präzision

Für minimale Abweichung der analytisch hergeleiteten Resonanzfrequenz f0 aus L und C sind Toleranzen, Güte und parasitische Effekte die dominierenden Stellgrößen: Enge Toleranzklassen und temperaturstabile Dielektrika reduzieren systematische Fehler, während geringe ESR/ESL und ein verlustarmer Aufbau die Güte erhöhen und die Dämpfung minimieren. Layout, Schirmung und Referenzierung beeinflussen zusätzlich die effektive Kapazität und Induktivität, was bei der Parameterwahl als additive Unsicherheit zu berücksichtigen ist; eine definierte Abgleichreserve (z. B. Trimm-C) ermöglicht es, Fertigungs- und Temperaturdrift gezielt zu kompensieren, ohne die Güte übermäßig zu belasten.

• Güte (Q) maximieren: Niedriger ESR, kernarme oder luftspulenbasierte L, C0G/NP0-Kondensatoren.
• Toleranzmanagement: L/C ≤1-2 %; statistische Streuung mit Worst-Case-Analyse kombinieren.
• Temperaturstabilität: TK ≤±30 ppm/°C für Referenzelemente; thermische Kopplung der Bauteile.
• Parasitika minimieren: Kurze Leiterwege, geringe Masseflächen-Nähe, definierte Abschirmung.
• Abgleichstrategie: Kleine Parallel- oder Serien-Trimmer, Abgleichpunkt nahe Soll-f0.
• Messkette: Kalibrierte LCR-Messung bei Betriebsfrequenz; Fixture-De-Embedding.

Häufige Fragen

Was beschreibt der Schwingkreis und welche Größen sind beteiligt?

Ein idealer LC-Schwingkreis besteht aus Induktivität L und Kapazität C. Energie pendelt zwischen elektrischem Feld des Kondensators und magnetischem Feld der Spule. Strom und Kondensatorspannung sind über die Maschengleichung und Bauteilgesetze gekoppelt.

Wie lautet die Differentialgleichung und wie entsteht sie?

Aus der Maschenregel folgt u_C + u_L = 0. Mit u_C = q/C, u_L = L di/dt und i = dq/dt ergibt sich L d²q/dt² + (1/C) q = 0. Die homogene lineare DGL zweiter Ordnung resultiert allein aus den idealen Bauteilgleichungen ohne Quellen.

Wie wird daraus die Resonanzfrequenz bestimmt?

Mit dem Ansatz q(t)=Q e^{jωt} liefert die charakteristische Gleichung −Lω² + 1/C = 0. Daraus folgt die Eigenkreisfrequenz ω0 = 1/√(LC) und die Resonanzfrequenz f0 = ω0/(2π). Gültig im ideal verlustlosen, linearen Fall.

Welche Rolle spielt Dämpfung und wie ändert sich die Frequenz?

Mit Verlusten (RLC) entsteht L d²q/dt² + R dq/dt + (1/C) q = 0. Die Eigenfrequenz bleibt ω0=1/√(LC), die gedämpfte Schwingfrequenz lautet ωd = ω0√(1−ζ²) mit ζ = R/2 √(C/L). Die Impedanzresonanz verschiebt sich leicht zu kleineren Frequenzen.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die Herleitung?

Vorausgesetzt werden ideale, lineare Bauteile mit konstantem L und C, lumped-Element-Modell, kleine Signale und keine Verluste, Sättigung oder Strahlung. Bei hohen Frequenzen, starken Verlusten oder Parasitics sind verteilte Modelle bzw. Korrekturen nötig.