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Die Bedeutung von Güte und Bandbreite im Schwingkreis

Schwingkreise bilden das Herz vieler Hochfrequenz- und Filteranwendungen. Zwei zentrale Kenngrößen bestimmen ihr Verhalten: die Güte Q und die Bandbreite. Während eine hohe Güte eine ausgeprägte Resonanz und geringe Verluste signalisiert, definiert die Bandbreite das Frequenzfenster wirksamer Energieübertragung. Zusammen legen sie Selektivität, Dämpfung und Stabilität fest.

Güte und Bandbreite im Fokus

Güte (Q) beschreibt das Verhältnis von gespeicherter zu verlorener Energie je Schwingung und steht in direktem Zusammenhang mit der Bandbreite (Δf): Näherungsweise gilt Q = f₀/Δf (bei −3 dB um die Resonanzfrequenz f₀). Hohe Werte erzeugen schmale Durchlassbereiche, hohe Selektivität und steile Flanken, jedoch längere Ausschwingzeiten und ausgeprägtes Klingeln; niedrige Werte liefern breite Passbänder und robustes Verhalten gegenüber Bauteiltoleranzen, aber geringere Trennschärfe. Über die Dämpfung besteht die Beziehung ζ ≈ 1/(2Q), womit Q auch das Zeitverhalten fixiert (Ringdown-Zeit ~ 2Q/ω₀).

Verluste der Bauteile: Serienwiderstand von Spulen (ESR), Wicklungs- und Kernverluste, Dielektrika (tan δ) drücken Q und verbreitern Δf.
Belastung und Kopplung: Quellen-/Lastimpedanz, Koppelfaktoren und Abgriffe verändern die effektive Dämpfung und damit die Selektivität.
Frequenz und Geometrie: Skin- und Proximity-Effekte steigen mit f, Layout und Leitungsführung beeinflussen parasitäre R und C.
Amplitude und Nichtlinearitäten: Kernsättigung, Temperaturdrift und Selbsterwärmung verschieben f₀ und Q abhängig vom Pegel.
Aktive Maßnahmen: Gyratoren, negative Impedanz und AGC können Q gezielt erhöhen oder stabilisieren, erfordern aber Stabilitätsreserven.

Anwendung	typ. Q	Δf/f₀	Kernmerkmal
Tonfilter (Audio)	0,5-1,2	weit	sanfte Flanken
IF-Filter (Funk)	50-200	schmal	hohe Selektivität
Näherungssensor (LC)	10-30	mittel	Störfestigkeit
Quarzresonator	10⁴-10⁵	sehr schmal	exakte f₀
Breitbandanpassung	2-5	breit	kurze Ein-/Ausschwingzeit

In der Praxis bedeutet ein höheres Q also stärkere Unterdrückung benachbarter Kanäle, jedoch auch längere Einschwing- und Abklingvorgänge; ein kleineres Q erlaubt schnelle Transienten und größere Toleranzfenster, erkauft sich jedoch geringere Trennschärfe. Die optimale Wahl ergibt sich aus Zielkonflikten zwischen Selektivität, Rausch- und Störabstand, Linearität und Dynamik sowie aus der verfügbaren Qualität der passiven Bauteile und der zulässigen Komplexität aktiver Kompensation.

Q-Faktor und Selektivität

Der Q-Faktor quantifiziert das Verhältnis von gespeicherter zu dissipierter Energie pro Periode und fungiert als Maß für die Selektivität eines LC-Schwingkreises. Hohe Güte führt zu schmaler Bandbreite (Q ≈ f0/Δf3dB), steilen Flanken und ausgeprägtem Resonanzmaximum; geringe Güte verbreitert das Durchlassfenster, senkt den Scheitel und verkürzt die Ausschwingzeit. In der Praxis unterscheidet sich die unbedämpfte Bauteilgüte (Q0) von der geladenen Güte (QL) des Gesamtnetzwerks, die Kopplung und Lasten einschließt. Selektivität wird nicht nur von Q bestimmt, sondern auch von Topologie (Ein- vs. Mehrkreis), Kopplungsgrad und Portdämpfung, wodurch Formfaktor, Einfügedämpfung und Nebenmaxima geprägt werden.

Die Wahl von Güte und Bandbreite legt fest, wie stark benachbarte Kanäle unterdrückt, Rauschen integriert und Transienten verarbeitet werden. Hoher Q begünstigt exzellente Trennung und geringe Phasenrauschbeeinflussung, kann jedoch zu Klingeln, längeren Einschwingzeiten und erhöhter Toleranzempfindlichkeit führen; niedriger Q unterstützt Breitbandigkeit und Robustheit, jedoch mit reduzierter Selektion. Reale Verluste in Leitern, Dielektrika und Kernen sowie Temperaturdrift und Nichtlinearitäten begrenzen die erreichbare Güte; über Kopplung, gezielte Dämpfung und aktive Entdämpfung lassen sich Zielwerte präzise einstellen.

Einflussfaktoren auf Q: Serienwiderstand, ESR, Kernverluste, Dielektrikverlust, Strahlungsverluste, Lastkopplung
Selektivität formen: Mehrkreis-Topologien, kritische Kopplung, Unter-/Überkopplung, Flankenentzerrung
Transienten steuern: Dämpfungsnetzwerke, Gruppenlaufzeit-Glättung, moderate Q-Reduktion
Stabilität sichern: Temperaturkompensation, Bauteiltoleranzen, mechanische Güte
Aktive Maßnahmen: Q-Multiplikation, Gyrator-Ansätze, AGC-gestützte Lastführung

Q-Niveau	Bandbreite	Selektivität	Transienten	Beispiel
Hoch	Schmal	Sehr gut	Langes Ausschwingen	ZF-Filter, Quarz
Mittel	Moderat	Gut	Ausgewogen	Bandpass im Funk
Niedrig	Breit	Begrenzt	Schnell	Sensornetz, Audio

Dämpfung, Verluste, Bandbreite

Reale Schwingkreise werden durch endliche Leitfähigkeiten sowie dielektrische und magnetische Verluste geprägt: Dämpfung verteilt spektrale Energie über ein größeres Frequenzband und senkt die Resonanzspitze. Dabei koppeln sich Güte (Q), Dämpfungsmaß (ζ) und Bandbreite (Δf): Je kleiner Q, desto größer Δf und desto stärker der Energieabbau pro Periode. In der Zeitdomäne führt dies zu schnellerem Abklingen; im Frequenzgang zu flacherer, breiterer Resonanz. Typische Verlustquellen sind ohmsche Widerstände in Spulen und Kondensatoren sowie Feldverluste und Abstrahlung.

Wicklungswiderstand: I²R-Verluste in L, ausgeprägt bei hohen Strömen und Temperaturen.
ESR/Dielektrikum: frequenzabhängige Verluste in C, Material- und Bauformabhängigkeit.
Kernverluste: Hysterese- und Wirbelströme in magnetischen Kernen.
Kontakt/Leiterbahn: parasitäre R, Haut-/Nähe-Effekt bei HF.
Strahlung/Kopplung: Energieabgabe an Umgebung, Einkopplung durch Nachbarkanäle.

Größe	Symbol	Relation
Resonanzfrequenz	f₀	1/(2π√(LC))
Güte	Q	f₀/Δf
Bandbreite (−3 dB)	Δf	f₀/Q
Dämpfung	ζ	≈ 1/(2Q)
Abklingzeit	τ	≈ 2Q/ω₀

Anwendungen erfordern je nach Kontext schmale Selektivität oder robuste Breitbandigkeit. Höhere Dämpfung reduziert Überschwingen und Toleranzempfindlichkeit, verschlechtert jedoch Selektivität und Energierückspeisung; geringere Dämpfung erhöht die Resonanzspitze, schärft die spektrale Trennung und begünstigt Klingeln. Das maßgebliche Regelknie liegt bei −3 dB, wo Δf definiert ist; Bauteilwahl, Materialdisperson und Layout bestimmen die reale Bandbreite und Stabilität.

Serien-/Parallelwiderstände: gezielte Justage von ζ zur Formung des Frequenzgangs.
Induktorgüte: Leiterquerschnitt, Wicklungstechnik, Kernmaterial → höheres Q, kleinere Δf.
Kondensator-ESR/Dielektrikum: C0G/NP0 für hohe Q; X7R/X5R breitbandiger, verlustbehafteter.
Layout/Abschirmung: kurze Rückführungen, Masseflächen, minimierte Streukopplungen.
Temperatur/Frequenz: Verschiebung von f₀ und Verlustparametern durch Materialdispersion.

Bauteilwahl für hohe Güte

Hohe Resonatorgüte entsteht, wenn die parasitären Verluste der Bauelemente gegenüber ihrer Reaktanz klein bleiben. Bei Spulen dominieren der ohmsche Wicklungswiderstand (DCR), frequenzabhängige Effekte wie Skin- und Proximity-Effekt sowie Kernverluste des Materials; Luftkerne vermeiden Hysterese- und Wirbelstromverluste, während hochwertige Ferrite bei kleinerer Bauform und höherer Induktivität punkten. Für Kondensatoren bestimmen ESR, Verlustfaktor (tan δ), Dielektrikum und die Spannungsabhängigkeit die Güte; verlustarme C0G/NP0- und PP-Folien sind hier im Vorteil. Zusätzlich beeinflussen ESL, Anschlussgeometrie und das SRF beider Bauteile die nutzbare Bandbreite.

Praktisch gilt: Eine hohe Güte verlangt ein Verhältnis von Blindwiderstand zu Serienverlusten deutlich größer als eins (Q ≈ X/R). Bei der Spule ist Q_L ≈ ωL/R_s maßgeblich, beim Kondensator Q_C ≈ 1/(ωC·ESR). Litzendraht reduziert HF-Verluste, eng tolerierte Bauteile sichern Reproduzierbarkeit, und thermisch stabile Materialien begrenzen Drift mit Temperatur und Spannung. Layout und mechanische Stabilität bleiben Teil der Bauteilwahl: kurze Rückstrompfade, geringe Streuinduktivität, minimale Dielektrika im Feld, sowie vibrationsarme Befestigung erhalten die eingestellte Güte über Frequenz und Umgebungseinflüsse.

Kondensatoren: C0G/NP0 oder PP-Folie für geringe ESR/tan δ; X7R/X5R nur bei tolerierbaren Verlusten und Spannungsdrift.
Induktivitäten: Luftkern für maximale Linearität; niederverlustige Ferrite/Pulverkerne für kompakte Bauform mit kontrollierter Sättigung.
SRF-Reserve: Eigenresonanz jeweils deutlich oberhalb der Arbeitsfrequenz.
Temperaturkoeffizienten: geringe Drift von L und C für stabile Mittenfrequenz und Bandbreite.
Leitermaterial: dicker Draht oder Litze zur Reduktion von DCR und HF-Verlusten.
Mechanik/PCB: kurze Anschlüsse, geringe ESL, großzügige Masseflächen; vibrationsarme Fixierung.

Bauteil	Typ	Verluste	Stabilität	Hinweis
Kondensator	C0G/NP0	tan δ ≈ 0,0005	sehr hoch	nahezu keine Spannungsdrift
Kondensator	PP-Folie	tan δ ≈ 0,0002	hoch	größer, sehr geringer ESR
Kondensator	X7R	tan δ ≈ 0,015-0,03	mittel	Kapazitätsabfall unter DC-Bias
Induktivität	Luftkern	Kernverluste 0	sehr hoch	größer, geringere L pro Windung
Induktivität	HF-Ferrit	niedrig bei f_HF	abhängig von µ	Sättigung und SRF beachten

Kopplungsgrad und Bandbreite

Energieaustausch zwischen zwei Resonatoren wird durch den Kopplungsfaktor k bestimmt und formt die geladene Güte Q_L ebenso wie die effektive Durchlassbreite. Mit zunehmender Kopplung steigt die übertragene Leistung, während die Selektivität sinkt; zu geringe Kopplung führt zu hoher Spitze bei geringer Einfügedämpfung, zu starke Kopplung spaltet die Resonanz in zwei Maxima auf. Bei kritischer Kopplung sind innere Verluste und äußere Dämpfung im Gleichgewicht, der Amplitudengang zeigt eine glatte Spitze und die -3‑dB‑Breite entspricht dem Zielprofil. Eine praktikable Kenngröße bleibt B ≈ f₀/Q_L, wobei k indirekt über Q_L gesteuert wird.

Unterkoppelt: sehr schmale Durchlasszone, hohe Selektivität, geringe Übertragungsleistung
Kritisch: optimale Leistungsübertragung, glatter Peak ohne Kerbe
Überkoppelt: Peak‑Splitting (Doppelpole), breiteres Frequenzfenster, mögliche Welligkeit in der Gruppenlaufzeit

Zustand	Amplitudengang	Merkmale	Typische Anwendung
Unterkoppelt	Schmale Glocke	Hohe Selektivität	Vorselektion
Kritisch	Glatte Spitze bei f₀	Geringe Einfügedämpfung	Resonanz‑Power‑Transfer
Überkoppelt	Zwei Maxima, zentrale Kerbe	Breitere Durchlasszone	Nahfeld‑Kommunikation

Die Feinabstimmung erfolgt über Geometrie und Last: Spulenabstand und Ausrichtung bestimmen k, Koppelschleifenfläche und kapazitive Übertrager erweitern den Regelbereich; Quell‑/Lastwiderstand ändern die externe Dämpfung und damit Q_L. Ein hoher Q₀ der Bauteile erlaubt schmale Durchlassbereiche bei moderater Kopplung, während parasitäre Kapazitäten, Ferritverluste und metallische Umgebung die Kurvenform verfälschen.

Mechanik: Abstand variieren, Spulen koaxial/orthogonal drehen, Koppelfläche anpassen
Elektrisch: Anzapfungen, Serien-/Parallelwiderstände, kapazitive Koppelglieder
Stabilität: Temperaturkoeffizienten, Sättigung des Kerns, Abschirmung gegen Fremdfelder
Verifikation: S₂₁-Sweep, -3‑dB‑Breite und Gruppenlaufzeit prüfen, auf Peak‑Splitting achten

Messung und Abstimmungstipps

Zur Bestimmung von Güte und Bandbreite bewähren sich präzise, reproduzierbare Verfahren. Die Resonanzfrequenz f0 wird über Frequenzsweep und das -3-dB-Intervall ermittelt; daraus folgt Q ≈ f0/Δf. Alternativ liefert die Ausschwingmessung nach Anregung mit einem Impuls die logarithmische Dekrementmethode. Für verlustarme Kreise sind S-Parameter im Durchlass (S21) besonders aussagekräftig, während bei stark dämpfenden Strukturen die Impedanzmessung (Z, ESR) Vorteile bietet. Kontakt- und Anschlussinduktivitäten werden durch De-Embedding kompensiert; geringe Anregungspegel vermeiden Nichtlinearitäten. Temperaturstabilität und Abschirmbedingungen entsprechen im Idealfall der späteren Betriebsumgebung.

VNA / S21: Übertragungsmaximum, -3-dB-Punkte, Güte aus Bandbreite; Referenzebenen sauber kalibrieren.
Oszilloskop (Ausschwingversuch): Impuls einkoppeln, Hüllkurve auswerten, Güte aus Abklingrate bestimmen.
LCR-Meter: Punktmessung von Q, D und ESR nahe f0; Leitungsinduktivität minimieren.
Sinusgenerator + Tastkopf: Amplituden-/Phasenverlauf scannen; Tastkopfkappazität als Last berücksichtigen.
Kalibrierung & De-Embedding: Open/Short/Load, Fixture-Modelle und Kabeldispersion korrigieren.

Die Abstimmung priorisiert entweder schmale Bandbreite (hohe Q) oder stabile Kopplung und Durchsatz. Verluste in Spule und Dielektrikum senken die Güte; Maßnahmen wie dickerer Leiter, kürzere Verbindungen und geeignete Kernmaterialien steigern Q, verengen aber die Bandbreite. Die Kopplungsstärke (induktiv/kapazitiv) steuert effektiv die resultierende Bandbreite des Gesamtsystems. Trimmkondensatoren und justierbare Kerne verschieben f0; Dämpfungswiderstände erhöhen Bandbreite und reduzieren Überschwingen. Anpassnetzwerke (L-, Pi-, T-Glied) verbinden Last und Quelle mit definierter Bandbreite und minimaler Einfügedämpfung. Messungen erfolgen bevorzugt im eingelasteten Zustand, da die Last die scheinbare Güte wesentlich beeinflusst.

Aktion	Auswirkung	Hinweis
ESR senken	Q ↑, Bandbreite ↓	Dickerer Draht, kurze Leiter
Kopplung lockern	Q (gemessen) ↑, Bandbreite ↓	Weniger Lastzugriff, geringerer Pegel
Trimm-C justieren	f0 fein verschieben	Umgebungsnähere Abschirmung
L abgleichen	f0 grob verschieben	Kernverluste/Temperatur prüfen
Dämpfung hinzufügen	Bandbreite ↑, Q ↓	Rauschbandbreite steigt
Anpassnetzwerk	Leistungsübertrag ↑	Bandbreite gezielt formbar

Häufige Fragen

Was bedeuten Güte und Bandbreite im Schwingkreis?

Die Güte Q beschreibt das Verhältnis gespeicherter zu verlorener Energie pro Schwingung; hohe Q bedeutet geringe Dämpfung. Die Bandbreite ist der Frequenzbereich um die Resonanz, in dem die Leistung typischerweise bei −3 dB liegt.

Wie beeinflusst die Güte die Selektivität eines Schwingkreises?

Mit steigender Güte wird die Resonanzkurve schmaler und die Selektivität nimmt zu. Unerwünschte Nachbarkanäle werden stärker unterdrückt, das Nutzsignal bleibt betont. Niedrige Güte erzeugt breite Durchlasskurven.

Wie stehen Güte, Bandbreite und Resonanzfrequenz in Beziehung?

Für lineare Schwingkreise gilt näherungsweise Q = f0/B, mit f0 als Resonanzfrequenz und B als −3‑dB‑Bandbreite. Eine höhere Güte verkleinert bei gegebener f0 die Bandbreite. Große Bandbreite bedeutet geringe Güte und stärkere Dämpfung.

Welche Einflüsse haben Verluste und Bauteiltoleranzen?

Verluste in Spule, Kondensator und Leitungen senken die Güte durch ohmsche Widerstände und dielektrische Verluste. Bauteiltoleranzen verschieben f0 und verändern B. Temperaturdrift und parasitäre Effekte verstärken Abweichungen.

Welche Bedeutung haben Bandbreite und Güte für Anwendungen?

Schmale Bandbreite begünstigt Filter, Resonanzsensoren, Oszillatoren und Empfänger mit hoher Selektivität, verlangt jedoch Stabilität. Breite Bandbreite ist vorteilhaft für schnelle Modulationen, Pulsübertragung und breitbandige Kopplung.

July 26, 2025

Mathematische Herleitung der Resonanzfrequenz im Schwingkreis

Die Resonanzfrequenz bildet das zentrale Merkmal idealer LC-Schwingkreise: Sie maximiert Energieaustausch zwischen elektrischem und magnetischem Feld und minimiert die Impedanz. Der Beitrag skizziert die mathematische Herleitung aus den Grundgleichungen: Kirchhoff, Differentialgleichung zweiter Ordnung, Lösung als harmonische Schwingung bis zur Formel f0=1/(2π√(LC)).

Inhaltsverzeichnis

Modell des Schwingkreises
Gleichung des Schwingkreises
Resonanzfrequenz analytisch
Einfluss der Dämpfung
Parameterwahl für Präzision
Häufige Fragen

Modell des Schwingkreises

Das zugrunde liegende lineare Serien-RLC-Modell basiert auf der Kirchhoff’schen Maschenregel und verknüpft die Bauteilgesetze zu einer kompakten Beschreibung der Dynamik: Aus der Spannungsbilanz L·(di/dt) + R·i + (1/C)∫i dt = 0 folgt in der Ladungsvariable q mit i = dq/dt die lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung L·q″ + R·q′ + (1/C)·q = 0; im verlustlosen Grenzfall entsteht die Eigenfrequenz ω₀ = 1/√(LC). Eine äquivalente Zustandsraumdarstellung mit x = (q, i)ᵀ lautet x′ = (i, −(1/LC)·q − (R/L)·i)ᵀ, wodurch die Dämpfung über R und die Kopplung von Induktivität L und Kapazität C transparent werden; die Anfangswerte q(0) und i(0) steuern Energieverteilung und Phasenlage.

Annahmen: linear, zeitinvariant, konzentrierte Parameter
keine Quellen in der Eigenbewegung (homogenes System)
gültig im Kleinsignalbereich ohne Sättigung und Verluste außer R
anfängliche Energie in L und/oder C über q(0), i(0)

Größe	Symbol	Einheit
Induktivität	L	H
Kapazität	C	F
Widerstand	R	Ω
Ladung	q	C
Strom	i	A
Spannung	u	V

Gleichung des Schwingkreises

Nach Anwendung der Maschenregel und der konstitutiven Zusammenhänge u_L = L · di/dt sowie u_C = q/C entsteht für den idealen LC-Kreis die homogene lineare Differentialgleichung L · d²q/dt² + (1/C) · q = 0. Mit ohmschen Verlusten ergibt sich der gedämpfte RLC-Term L · d²q/dt² + R · dq/dt + (1/C) · q = 0, wobei i = dq/dt. In Normalform geschrieben: q” + 2ζω₀ q’ + ω₀² q = 0 mit ω₀ = 1/√(LC) und ζ = (R/2) · √(C/L); die Gesamtenergie W = (1/2) · L · i² + (1/2) · C · (q/C)² illustriert den periodischen Energieaustausch zwischen Magnetfeld und elektrischem Feld und zeigt, wie Dämpfung die Amplituden zeitlich reduziert.

Modellannahmen: linear, zeitinvariant, konzentrierte Bauelemente
Anfangswerte: Ladung q(0) und Strom i(0) bestimmen Phasenlage und Amplitude
Energiepfad: verlustlos periodisch (LC), mit R exponentiell abklingend

Symbol	Bedeutung	Einheit	Kernbezug
L	Induktivität	H	u_L = L · di/dt
C	Kondensator	F	u_C = q/C
R	Widerstand	Ω	Dämpfung 2ζω₀
q	Ladung	C	i = dq/dt
ω₀	Eigenkreisfrequenz	rad/s	1/√(LC)

Resonanzfrequenz analytisch

Ausgehend von der Maschenbilanz des Reihen-RLC ergibt sich die lineare Differentialgleichung L q” + R q’ + (1/C) q = 0 mit der charakteristischen Form s² + (R/L)s + 1/(LC) = 0. Daraus folgen die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ω₀ = 1/√(LC) und die Dämpfung α = R/(2L); im unterkritischen Fall entsteht q(t) ∝ e^−αt cos(ω_dt + φ) mit der gedämpften Eigenfrequenz ω_d = √(ω₀² − α²). Im Frequenzbereich besitzt der Serienkreis bei idealen Bauteilen ein Impedanzminimum exakt bei ω₀, sodass f₀ = 1/(2π√(LC)) gilt; der Einfluss endlicher Verluste wird kompakt über den Gütefaktor Q = ω₀L/R beschrieben, wobei sich Spitzen in Übertragungsfunktionen für hohe Güte näherungsweise mit f_peak ≈ f₀√(1 − 1/(2Q²)) erfassen lassen.

Grundgleichung: L q” + R q’ + (1/C) q = 0
Eigenkreisfrequenz: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π)
Dämpfung: α = R/(2L)
Gedämpfte Frequenz: ω_d = √(ω₀² − α²)
Gütefaktor (Serie): Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)
Peak-Näherung (hohes Q): f_peak ≈ f₀√(1 − 1/(2Q²))

L	C	R	f₀	f_d	Q
10 mH	1 µF	100 Ω	1.592 kHz	1.378 kHz	1.00
10 mH	100 nF	5 Ω	5.033 kHz	5.032 kHz	63.25

Einfluss der Dämpfung

Verluste verschieben das Amplitudenmaximum geringfügig unter die ungedämpfte Eigenfrequenz f₀ = 1/(2π√(LC)) und glätten die Resonanzkurve: Für große Güte Q gilt näherungsweise fᵣ ≈ f₀·√(1 − 1/(2Q²)), während die zeitliche Schwingung mit der gedämpften Eigenfrequenz f_d = f₀·√(1 − ζ²) abläuft. Die Spitzenauslenkung sinkt, die Bandbreite Δf = f₀/Q wächst, und die Phasenlage durchläuft den Bereich um −90° konzentriert nahe f₀. In Reihenschwingkreisen reduziert Dämpfung den Stromgipfel und verbreitert die Impedanzmulde; in Parallelschwingkreisen flacht die Admittanzspitze ab. Mit zunehmender Dissipation geht Selektivität verloren, Energie speichert sich geringer in L und C, und die Übergänge zwischen unter-, kritisch- und überdämpftem Verhalten treten klar hervor.

Güte Q: bei Serie-RLC Q = (1/R)·√(L/C); maßgeblich für Höhe und Schärfe der Resonanz.
Bandbreite: Δf steigt mit Dämpfung; Halbwertsbreite bestimmt Selektivität.
Frequenzverschiebung: fᵣ liegt unter f₀; der Effekt ist klein für Q ≫ 1.
Phasenverschiebung: schnellere Drehung um −90° bei stärkerer Dämpfung.
Energiehaushalt: geringere Spitzenenergie in L/C, erhöhte Verlustleistung in R.

Regime	Bedingung	Resonanzspitze	Lage fᵣ	Phase bei fᵣ
Unterdämpft	ζ < 1 (Q > 1/2)	Ausgeprägt	leicht unter f₀	≈ −90°
Kritisch	ζ = 1	Grenzfall	nahe f₀	monotoner Übergang
Überdämpft	ζ > 1	Keine	–	ohne S‑Knick

Parameterwahl für Präzision

Für minimale Abweichung der analytisch hergeleiteten Resonanzfrequenz f0 aus L und C sind Toleranzen, Güte und parasitische Effekte die dominierenden Stellgrößen: Enge Toleranzklassen und temperaturstabile Dielektrika reduzieren systematische Fehler, während geringe ESR/ESL und ein verlustarmer Aufbau die Güte erhöhen und die Dämpfung minimieren. Layout, Schirmung und Referenzierung beeinflussen zusätzlich die effektive Kapazität und Induktivität, was bei der Parameterwahl als additive Unsicherheit zu berücksichtigen ist; eine definierte Abgleichreserve (z. B. Trimm-C) ermöglicht es, Fertigungs- und Temperaturdrift gezielt zu kompensieren, ohne die Güte übermäßig zu belasten.

Güte (Q) maximieren: Niedriger ESR, kernarme oder luftspulenbasierte L, C0G/NP0-Kondensatoren.
Toleranzmanagement: L/C ≤1-2 %; statistische Streuung mit Worst-Case-Analyse kombinieren.
Temperaturstabilität: TK ≤±30 ppm/°C für Referenzelemente; thermische Kopplung der Bauteile.
Parasitika minimieren: Kurze Leiterwege, geringe Masseflächen-Nähe, definierte Abschirmung.
Abgleichstrategie: Kleine Parallel- oder Serien-Trimmer, Abgleichpunkt nahe Soll-f0.
Messkette: Kalibrierte LCR-Messung bei Betriebsfrequenz; Fixture-De-Embedding.

Parameter	Ziel/Empfehlung	Einfluss auf f0	Einfluss auf Q
L	1-2 % Toleranz, niedrige Kernverluste	f0 ∝ 1/√L	Wirbel-/Hystereseverluste ↓Q
C	C0G/NP0, 0.5-1 % Toleranz	f0 ∝ 1/√C	ESR bestimmt Dämpfung
ESR/ESL	So klein wie möglich	Kleine f0‑Verschiebung	Q stark reduziert
TK(L,C)	≤±30-100 ppm/°C	Thermische Drift von f0	Stabilität über Temperatur
Parasitika	Layout-optimiert, modelliert	Effektives L/C verschoben	Zusatzverluste ↑

Häufige Fragen

Was beschreibt der Schwingkreis und welche Größen sind beteiligt?

Ein idealer LC-Schwingkreis besteht aus Induktivität L und Kapazität C. Energie pendelt zwischen elektrischem Feld des Kondensators und magnetischem Feld der Spule. Strom und Kondensatorspannung sind über die Maschengleichung und Bauteilgesetze gekoppelt.

Wie lautet die Differentialgleichung und wie entsteht sie?

Aus der Maschenregel folgt u_C + u_L = 0. Mit u_C = q/C, u_L = L di/dt und i = dq/dt ergibt sich L d²q/dt² + (1/C) q = 0. Die homogene lineare DGL zweiter Ordnung resultiert allein aus den idealen Bauteilgleichungen ohne Quellen.

Wie wird daraus die Resonanzfrequenz bestimmt?

Mit dem Ansatz q(t)=Q e^{jωt} liefert die charakteristische Gleichung −Lω² + 1/C = 0. Daraus folgt die Eigenkreisfrequenz ω0 = 1/√(LC) und die Resonanzfrequenz f0 = ω0/(2π). Gültig im ideal verlustlosen, linearen Fall.

Welche Rolle spielt Dämpfung und wie ändert sich die Frequenz?

Mit Verlusten (RLC) entsteht L d²q/dt² + R dq/dt + (1/C) q = 0. Die Eigenfrequenz bleibt ω0=1/√(LC), die gedämpfte Schwingfrequenz lautet ωd = ω0√(1−ζ²) mit ζ = R/2 √(C/L). Die Impedanzresonanz verschiebt sich leicht zu kleineren Frequenzen.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die Herleitung?

Vorausgesetzt werden ideale, lineare Bauteile mit konstantem L und C, lumped-Element-Modell, kleine Signale und keine Verluste, Sättigung oder Strahlung. Bei hohen Frequenzen, starken Verlusten oder Parasitics sind verteilte Modelle bzw. Korrekturen nötig.

March 3, 2025